在涉嫌寻衅滋事被刑事拘留后，犯罪嫌疑人有权聘请律师进行辩护。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条的规定，犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人。在侦查期间，只能委托律师作为辩护人。律师可以提供法律咨询、代理申诉、控告、申请变更强制措施等法律服务，维护犯罪嫌疑人的合法权益。
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从法律角度，刑事拘留期间犯罪嫌疑人的权利保障包括：有权聘请律师；在讯问时，侦查人员不得少于二人，并应告知犯罪嫌疑人有权申请回避；有权对讯问笔录进行核对和补充；有权申请变更强制措施，如取保候审或监视居住；以及在被拘留后二十四小时以内，侦查机关应通知其家属或所在单位。
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如果被错误拘留，可采取的解决方案有：首先，应立即向拘留机关提出申诉，说明被错误拘留的事实和理由；其次，拘留机关在查实后，应当立即解除拘留；最后，被错误拘留的人可以依法申请国家赔偿，要求拘留机关赔偿因错误拘留造成的损失。